Faydalı məsləhətlər

Daha mürəkkəb ifadələri köklərlə çevirin və asanlaşdırın

Pin
Send
Share
Send
Send


Məktəbdəki köklə tanış olanda irrasional ifadələr anlayışını öyrənirik. Bu cür ifadələr köklərlə sıx bağlıdır.

İrrasional ifadələr Kökü olan ifadələrdir. Yəni bunlar radikal olan ifadələrdir.

Bu tərifə əsasən x - 1, 8 3 · 3 6 - 1 2 · 3, 7 - 4 · 3 · (2 ​​+ 3), 4 · a 2 d 5: d 9 2 · a 3 5 - bunlar hamısı irrasional tipli ifadələrdir.

X · x - 7 · x + 7 x + 3 2 · x - 8 3 ifadəsini nəzərdən keçirdikdə ifadənin rasional olduğunu alırıq. Rasional ifadələrə çoxbucaqlılar və cəbr fraksiyaları daxildir. İrrasional olanlara logaritmik ifadələr və ya köklü ifadələrlə işləmə daxildir.

Bu video dərs abunə yolu ilə mövcuddur.

Onsuzda abunə varmı? Daxil ol

Dərsin əvvəlində kvadrat köklərin əsas xüsusiyyətlərini təkrarlayacağıq, sonra kvadrat kökləri olan ifadələri asanlaşdırmaq üçün bəzi mürəkkəb nümunələri nəzərdən keçirək.

Mövzunu anlamaqda çətinlik çəkirsinizsə, "İfadələrin sadələşdirilməsi" dərsinə baxmanızı məsləhət görürük

Kvadrat kök xüsusiyyətlərini təkrarlamaq

Qısaca nəzəriyyəni təkrarlayırıq və kvadrat köklərin əsas xüsusiyyətlərini xatırladırıq.

Kvadrat köklərin xüsusiyyətləri:

1. ,

2. ,

3. ,

4. .

Köklərlə ifadələrin sadələşdirilməsinə nümunələr

Bu xüsusiyyətlərdən istifadə nümunələrinə keçək.

Nümunə 1 İfanı sadələşdirin.

Həll yolu. Sadələşdirmək üçün 120 sayı sadə amillərə ayrılmalıdır:

. Müvafiq düstura görə cəmin kvadratını aşkar edəcəyik:

.

Misal 2 İfanı sadələşdirin.

Həll yolu. Nəzərə alacağıq ki, bu ifadə dəyişənin bütün mümkün dəyərləri üçün heç bir məna vermir, çünki bu ifadədə kvadrat kökləri və fraksiyalar mövcuddur, bu da icazə verilən dəyərlər aralığının “daralmasına” səbəb olur. ODZ :).

Biz mötərizədə ifadəni ortaq məxrəcə veririk və son fraksiyanın sayını kvadratların fərqi kimi yazırıq:

.

Cavab..

Misal 3 İfanı sadələşdirin.

Həll yolu. Sayğacın ikinci mötərizəsinin narahat bir görünüşə sahib olduğunu və sadələşdirilməsini lazım olduğunu görə bilərik, qruplaşdırma metodundan istifadə edərək faktor etməyə çalışacağıq.

. Ümumi bir faktoru ortaya qoya bilmək üçün kökləri faktorlaşdıraraq sadələşdirdik. Yaranan ifadəni orijinal fraksiyada əvəz edin:

. Fraksiyanı azaltdıqdan sonra kvadratların fərqinin düsturunu tətbiq edirik.

İradəsizlikdən qurtulmağın nümunəsi

Misal 4 Tərifdəki irrasionallıqdan (köklərdən) qurtulmaq üçün: a).

Həll yolu. a) Tərkibindəki irrasionallıqdan qurtulmaq üçün fraqmentin həm ədədi, həm də məxrəcini məxrəcə birləşdirən amil ilə çoxaltmağın standart metodundan istifadə olunur (eyni ifadə, lakin əks işarə ilə). Bu fraksiyanın məxrəcini kvadratların fərqinə əlavə etmək üçün edilir, bu məxrəcdəki köklərdən qurtulmağa imkan verir. Bu texnikanı vəziyyətimizdə yerinə yetiririk:

.

b) oxşar hərəkətlər edirik:

.

Cavab..

Sübut və kompleks bir radikalda tam bir kvadratın ayrılması nümunəsi

Misal 5 Bərabərliyi sübut edin.

Sübut. Kvadrat kökünün tərifindən istifadə edirik ki, bundan düzgün ifadə kvadratı kök ifadəsinə bərabər olmalıdır:

. Mötərizəni cəmi kvadratının düsturuna uyğun olaraq açacağıq:

, əsl bərabərliyi əldə etdi.

Misal 6 İfanı sadələşdirin.

Həll yolu. Göstərilən ifadə ümumiyyətlə kompleks bir radikal adlanır (kök altında kök). Bu nümunədə kök ifadəsindən tam kvadratı seçməyi təxmin etməlisiniz. Bunun üçün iki terminin, ikincinin rolu üçün isə 1 olduğunu qeyd edirik.

. Bu ifadəni kökündə əvəz edin:

.

Cavab..

Bu dərsdə “Funksiya. Kvadrat kökünün xüsusiyyətləri ”mövzusunda növbəti dərsdə“ Həqiqi ədədlər ”adlı yeni mövzuya başlayırıq.

İstinadlar

1. Başmakov M.İ. Cəbr 8-ci sinif. - M.: Təhsil, 2004.

2. Dorofeev G.V., Suvorova SB, Bunimovich EA və digər Cəbr 8. - 5 ed. - M .: Təhsil, 2010.

3. Nikolskiy S. M., Potapov M. A., Reshetnikov N. N., Şevkin A. V. Cəbr 8-ci sinif. Təhsil müəssisələri üçün dərslik. - M.: Təhsil, 2006.

İnternet mənbələrinə əlavə tövsiyə olunan bağlantılar

1. xenoid.ru İnternet portalı (Mənbə).

2. Riyaziyyat məktəbi (Mənbə).

3. XReferat.Ru İnternet portalı (Mənbə).

Ev tapşırığı

1. № 357, 360, 372, 373, 382. Dorofeev G.V., Suvorova SB, Bunimovich EA və digər Cəbr 8. - 5 ed. - M .: Təhsil, 2010.

2. Tərifdəki irrasionallıqdan qurtulun: a).

3. İfanı sadələşdirin: a).

4. Şəxsiyyəti sübut edin.

Səhv və ya qırılmış bir əlaqə taparsanız, bizə bildirin - layihənin inkişafına öz töhfənizi verin.

İrrasional ifadələrin çevrilmələrinin əsas növləri

Bu cür ifadələri hesablayarkən DLD-ə diqqət yetirmək lazımdır. Çox vaxt onlar mötərizə açmaq, oxşar üzvlər, qruplar və s. Şəklində əlavə dəyişikliklər tələb edirlər. Bu cür çevrilmələrin əsası ədədlərlə hərəkətlərdir. Irrasional ifadələrin çevrilməsi ciddi bir qaydaya uyğundur.

9 + 3 3 - 2 + 4 · 3 3 + 1 - 2 · 3 3 ifadəsini çevirin.

9 nömrəsini kökü olan bir ifadə ilə əvəz etməlisiniz. Sonra bunu əldə edirik

81 + 3 3 - 2 + 4 · 3 3 + 1 - 2 · 3 3 = = 9 + 3 3 - 2 + 4 · 3 3 + 1 - 2 · 3 3

Yaranan ifadənin oxşar terminləri var, buna görə ixtisar və qruplaşdırma aparırıq. Alırıq

9 + 3 3 - 2 + 4 · 3 3 + 1 - 2 · 3 3 = = 9 - 2 + 1 + 3 3 + 4 · 3 3 - 2 · 3 3 = = 8 + 3 · 3 3
Cavab: 9 + 3 3 - 2 + 4 · 3 3 + 1 - 2 · 3 3 = 8 + 3 · 3 3

X + 3 5 2 - 2 · x + 3 5 + 1 - 9 ifadəsini qısaldılmış vurma düsturlarından istifadə edərək iki irrasional olanın məhsulu şəklində təqdim edin.

x + 3 5 2 - 2 x + 3 5 + 1 - 9 = = x + 3 5 - 1 2 - 9

9-u 3 2 şəklində təmsil edirik və kvadratların fərqinin düsturunu tətbiq edirik:

x + 3 5 - 1 2 - 9 = x + 3 5 - 1 2 - 3 2 = = x + 3 5 - 1 - 3 · x + 3 5 - 1 + 3 = = x + 3 5 - 4 · x + 3 5 + 2

Eyni dəyişikliklərin nəticəsi tapılması lazım olan iki rasional ifadənin məhsuluna səbəb oldu.

x + 3 5 2 - 2 x + 3 5 + 1 - 9 = = x + 3 5 - 4 x + 3 5 + 2

İrrasional ifadələrə aid bir sıra digər dəyişiklikləri edə bilərsiniz.

Kök ifadəsini çevirin

Kök işarəsi altındakı ifadənin ona eyni dərəcədə bərabər qoyulması vacibdir. Bu ifadə radikal ifadə ilə işləməyi mümkün edir. Məsələn, 1 + 6 7 və ya 2 · a 5 4 - 6 ilə 2 · a 4 · a 4 - 6 ilə əvəz edilə bilər. Onlar eyni dərəcədə bərabərdirlər, buna görə dəyişdirmə məna verir.

A n-dan başqa 1 olmadığı zaman, a n = a 1 n formasının bərabərsizliyi doğrudursa, belə bir bərabərlik yalnız a = a 1 üçün mümkündür. Bu cür ifadələrin dəyərləri dəyişənlərin istənilən dəyərlərinə bərabərdir.

Kök xüsusiyyətlərindən istifadə

Kök xüsusiyyətləri ifadələri asanlaşdırmaq üçün istifadə olunur. A · b = a · b mülkiyyətini tətbiq etmək üçün, burada a ≥ 0, b To 0, sonra irrasional formada 1 + 3 · 12 ilə eyni şəkildə 1 + 3 · 12-ə bərabər ola bilərik. Mülkiyyət. . . a n k n 2 n 1 = a n 1 · n 2 ·,. . . , · N k, burada a ≥ 0 x 2 + 4 4 3 x 2 + 4 24 şəklində yazıla biləcəyini göstərir.

Radikal ifadələrin çevrilməsində bəzi nüanslar var. Bir ifadə varsa, onda - 7 - 81 4 = - 7 4 - 81 4 yaza bilmərik, çünki a b n = a n b n düsturu yalnız mənfi olmayan a və müsbət b üçün xidmət edir. Mülkiyyət düzgün tətbiq olunarsa, onda 7 4 81 4 formasının ifadəsini alırıq.

Düzgün çevrilmə üçün köklərin xüsusiyyətlərini istifadə edən irrasional ifadələrin çevrilməsi istifadə olunur.

Kök işarəsi altında bir çarpan təqdim olunur

Kök işarəsi altına girin - ifadəsini B · C n ilə əvəz etmək deməkdir, B və C isə bəzi ədədlər və ya ifadələrdir, burada n 1-dən çox olan təbii bir nömrə, B n · C n və ya - B n · C n forması olan bərabər bir ifadə var.

2 · x 3 formasının ifadəsini sadələşdirsək, kök altına girdikdən sonra bu 2 3 · x 3 alırıq. Bu cür dəyişikliklər yalnız bir kök işarəsi altında bir amilin tətbiqi qaydalarını ətraflı araşdırdıqdan sonra mümkündür.

Faktorun kök işarəsi altından çıxarılması

B n · C n formasının ifadəsi varsa, onda B, C şəklini bərabər n, B və C olan bəzi nömrələr və ifadələr olan tək n var olduğu B · C n formasına endirilir.

Yəni 2 3 · x 3 formasının irrasional bir ifadəsini götürsək, faktoru kökünün altından götürsək, onda 2 · x 3 ifadəsini alırıq. Və ya x + 1 2 · 7, x + 1 · 7 şəklində başqa bir nota sahib olan x + 1 · 7 formasının ifadəsi ilə nəticələnəcəkdir.

Faktoru kökünün altından çıxarmaq ifadəni asanlaşdırmaq və tez dəyişdirmək üçün lazımdır.

Kökləri olan fraksiyaları çevirin

Irrasional bir ifadə ya təbii bir nömrə, ya da hissə ola bilər. Fraksiya ifadələrini çevirmək üçün onun məxrəcinə çox diqqət yetirilir. Formanın bir hissəsini götürsək (2 + 3) · x 4 x 2 + 5 3, onda ədədi 5 · x 4 formasını alacaq və köklərin xüsusiyyətlərindən istifadə edərək məxrəcin x 2 + 5 6 olacağını əldə edirik. İlkin fraksiya 5 · x 4 x 2 + 5 6 şəklində yazıla bilər.

Yalnız sayğacın və ya yalnız məxrəcin işarəsini dəyişdirmək lazım olduğuna diqqət yetirmək lazımdır. Bunu əldə edirik

- x + 2 · x - 3 · x 2 + 7 4 = x + 2 · x - (- 3 · x 2 + 7 4) = x + 2 · x 3 · x 2 - 7 4

Fraksiya azaldılması ən çox sadələşdirmədə istifadə olunur. Bunu əldə edirik

3 · x + 4 3 - 1; x x + 4 3 - 1 3 x + 4 3 - 1 ilə azaltırıq. 3 · x x + 4 3 - 1 2 ifadəsini alırıq.

Azaldılmadan əvvəl ifadəni asanlaşdıran və mürəkkəb ifadəni faktor etməyə imkan verən çevrilmələr aparmaq lazımdır. Ən çox istifadə olunan düsturlar qısaldılmış vurmadır.

2 · x - y x + y formasının bir hissəsini götürsək, u = x və v = x yeni dəyişənləri tətbiq etmək lazımdır, onda verilən ifadə formanı dəyişdirəcək və 2 · u 2 - v 2 u + v olacaqdır. Sayı düsturla çoxbucaqlılara parçalanmalıdır, sonra əldə edirik

2 · u 2 - v 2 u + v = 2 · (u - v) · u + v u + v = 2 · u - v. Əks əvəzləmə etdikdən sonra orijinala bərabər olan 2 · x - y formasına gəlirik.

Yeni bir məxrəcdə azaldılmasına icazə verilir, sonra sayğacı əlavə bir amilə vurmaq lazımdır. X 3 - 1 0, 5 · x formasının bir hissəsini götürsək, x məxrəcinə gətiririk. bunun üçün ədədi və məxrəci 2 · x ifadəsi ilə çoxaltmalısan, sonra x 3 - 1 0, 5 · x = 2 · x · x 3 - 1 0, 5 · x · 2 · x = 2 · x · x 3 ifadəsini alırıq. - 1 x.

Fraksiyaların azaldılması və ya oxşar fraksiyaların azaldılması yalnız göstərilən fraksiyanın ODZ-də lazımdır. Sayı və məxrəci irrasional ifadə ilə çoxaltdıqda, məxrəcdəki irrasionallıqdan qurtulduğumuzu əldə edirik.

Köklərdən dərəcələrə keçid

Irrasional ifadələrin tez çevrilməsi üçün köklərdən dərəcələrə keçid zəruridir. Əgər bərabərliyi a m n = a m n hesab etsək, onda müsbət bir ədəd olduqda, m-nin tam sayda, n-nin isə natural ədəd olduqda istifadəsinin mümkün olduğunu görə bilərik. 5 - 2 3 ifadəsini nəzərdən keçirsək, əks halda onu 5 - 2 3 olaraq yazmaq hüququmuz var. Bu ifadələr ekvivalentdir.

Kök altında mənfi bir sıra və ya dəyişənləri olan bir sıra olduqda a m n = a m n düsturu həmişə tətbiq olunmur. Bu cür kökləri (- 8) 3 5 və (- 16) 2 4 dərəcə ilə əvəz etmək lazımdırsa, onda əldə edirik - 8 3 5 və - 16 2 4 düsturu ilə a m n = a m n mənfi a ilə işləmir. Radikal ifadələrin mövzusunu və onların sadələşdirilməsini ətraflı təhlil etmək üçün köklərdən dərəcə və əksinə keçidlə bağlı məqaləni öyrənmək lazımdır. Xatırlamaq lazımdır ki, a m n = a m n düsturu bu cür bütün ifadələrə tətbiq olunmur. İradəsizlikdən qurtulmaq ifadənin daha da sadələşdirilməsinə, onun çevrilməsinə və həllinə kömək edir.

Pin
Send
Share
Send
Send