Faydalı məsləhətlər

Çoxbucaqlı qaydasını necə tapmaq olar

Pin
Send
Share
Send
Send


Monomial və çoxuşaqlı anlayışları çox vaxt qarışıqdır.

Görək monomial və çoxbucaqlı nədir. Əvvəla, "Monomiyalar" dərsində monomial adlandırılanları xatırlayın.

Qeyd edək ki, monomialın "içərisi" (hərflər və ədədi əmsal arasında) yalnız vurma işarəsidir. Məsələn, monomialda: 3ab = 3 · a · b

Polinom bir neçə monomiyanın cəbri cəmini adlandırdı.

Çoxbucaqlının qurulduğu monomiallara çoxbucaq üzvlər deyilir.

Polinomların nümunələri: a + 2b 2 - c, 3t 5 - 4b, 4 - 6xy

Hər hansı bir polinomun bir neçə monomiyadan ibarət olduğunu görmək asandır.

Polinomiyanı daha ətraflı nəzərdən keçirək.

Sual, monomiyaların cəbri cəminin çoxluqda bir mənfi işarəsi olduqda çoxalma adlandırılmasıdır.

Çünki əslində “-” işarəsi işarənin sağ tərəfindəki monomiyanın ədədi əmsalına aiddir.

Hər hansı bir polinomial, əlamətlərin qaydasına görə monomialların cəmi olaraq yazıla bilər.

Bir polinomiyada, monomialın sol tərəfindəki işarə monomialın ədədi əmsalına işarə edir.

Polinomların dərəcələri

PolinomDərəcəsi
çoxbucaqlı
a 2 - 3a 2 b + x =
a 2 (monomial dərəcə 2) - 3a 2 b(monomial dərəcə 3) + x(monomial dərəcə 1)
3
1
3
x 2 y 2 + 4x 2 =
1
3
x 2 y 2 (monomial dərəcə 4) + 4x 2 (monomial dərəcə 2)
4
8x 2 - 3a + 4 =
8x 2 (monomial dərəcə 2) - 3a(monomial dərəcə 1) + 4(monomial dərəcə 0)
2

Hər hansı bir monomial çoxbucaqlıdır. Əslində, hər hansı bir monomial, əslində, yalnız bir monomialdan ibarət olan bir çoxunluqdur.

Belə çoxbucaqlılara misal: 2a 2 b, −3d 3, a.

Polinom - ifadədəki bir neçə monomialın cəmidir

Termin mahiyyətini başa düşmək çox sadədir. Əgər monomiallar öz aralarında çoxaldılan ədədlər, dəyişənlər və dərəcələrdirsə, onda çoxbucaqlılar - bunlar bir-birlərinə əlavə olunan monomiallardır.

Bir misala baxaq.

  • Ayrı-ayrılıqda alınan 5 × 3 və 6ab ifadələri monomial sayılacaqdır.
  • Ancaq bunları bir-birinə əlavə etsəniz - 5x 3 y + 6ab - onda çoxbucaqlı bir ifadə alırıq.
  • Üstəlik, çoxbucaqlıların hər iki hissəsi onun fərdi üzvləri olacaqdır.

Çoxbucaqlılıq, monomiyaların birlikdə əlavə olunduğu hər hansı bir ifadədir. Ancaq ümumi bir adın əvəzinə daha konkret olanlardan istifadə edilə bilər. Məsələn, iki belə hissədən ibarət bir ifadə binomial, üçüncüsü isə trinomial adlandırılacaqdır.

Sifariş çoxuşaqlıdır

N (q) və M (q) polinomiyalarının qaydası məlumdur.

Ən çox dərəcədən başlayaraq çoxbucaqlı nizam müəyyən etmək üçün üzvlərini ikiyə qruplaşdırmaq lazımdır. Məsələn, i - - x ikinci dərəcəli polinom, 1 x - üçüncü sıradadır.

Polinomun qaydası böyüdükcə təsvirin dəqiqliyi artır, eyni zamanda modelin təfsiri daha da çətinləşir - hər bir girişin təsirinin təhlili. Bundan əlavə, bir tənliyin nə qədər çox əmsalları varsa, onları tapmaq üçün bir o qədər təcrübə aparmaq lazımdır: təcrübələrin minimum sayı əmsalların sayına bərabərdir və adekvatlığı qiymətləndirə bilmək üçün əmsalların olacağından daha çox təcrübə tələb olunur. Üçüncüsündən daha yüksək olan (birdən çox arqumentlə) bərabərliklər praktikada nadir hallarda rast gəlinir.

Polinomun qaydası böyüdükcə təsvirin dəqiqliyi artır, eyni zamanda modelin təfsiri daha da çətinləşir - hər bir girişin təsirinin təhlili.

Polinomun qaydası böyüdükcə təsvirin dəqiqliyi artır, bununla birlikdə əmsalların (b) təyini mürəkkəbləşir, çünki nə qədər çox əmsal varsa, bir o qədər təcrübələr lazımdır. Buna görə, statistik modellər yaratarkən, üçüncü sıradan yüksək olmayan çoxnömrələrdən istifadə etmək adətdir.

Arqumenti x və Taylor çoxbucaqlı n-nın ardıcıllığını X və N hərfləri ilə bildirək və proqramın ilk sətirində INPUT ii X, N giriş əmrindən istifadə edərək onları ilkin rəqəmsal məlumatlar kimi daxil edəcəyik (INPUT İngilis dilində giriş deməkdir) və burada ii işarəsi istifadə olunur. INPUT sözü ilə giriş dəyərlərinin siyahısı arasındakı boşluğu dəqiq göstərmək.

Maşına müraciət direktivi daxil edilir, burada göstərilmişdir: N - çoxnömrənin qaydası, E - göstərilən dəqiqlik, R1 - sayın rəqəm tutumu, A - çoxluqların sıra.

Yüksək sifarişlərin (4.24) funksiyalarını həyata keçirərkən sxemi əhəmiyyətli dərəcədə çətinləşdirmək mümkün olduğundan, FSS sintezində ən vacib məsələ Bessel polinomiyasının sifarişinin seçilməsidir.

Ən az kvadratlar metodu ilə həyata keçirilən sit seçimi fərqli filtrlər seçməyə imkan verir. Əyri ilə yaxınlaşan polinomialın qaydası təyin olunur və onun parametrləri ən az kvadratlar metodu ilə müəyyən edilir ki, təcrübi nöqtələr və çoxnömel nöqtələr arasındakı kvadrat fərqlərin cəmi minimal olsun. Hamarlaşdırma ikinci və üçüncü sıradakı əyrilərin köməyi ilə 5 - 10 bal üzərində aparılır. Rəqəmsal filtrasiya bir çox ixtisaslaşdırılmış qaz xromatoqrafiya hesablama vasitələrində istifadə olunur.

C matrisinin ümumi vəziyyətində ah əmsalları bir-birindən müstəqil olaraq təyin olunur. Reqressiya polinomunun qaydasını dəyişdirsək (bir neçə termin əlavə etmək və ya çıxartmaqla), C matrisinin dəyişəcəyi üçün bütün əmsalları yenidən təyin etmək məcburiyyətində qalacaqdır.Təcrübə C matrisi diaqonal olaraq qurulacaqsa, onda ak bir-birindən müstəqil olaraq təyin ediləcəkdir. Bu mülkə sahib olan planlara ortogonal deyilir.

Sol tərəfdəki törəmələrin olmaması giriş siqnallarının mükəmməl ötürülməsini göstərir. Çoxbucaqlı Q (p) sırası nə qədər yüksəkdirsə, daha güclü, ceteris paribus, ötürülən siqnalların forması bağlantı tərəfindən təhrif olunur.

Problemi həll etmək üçün MULLER proseduruna müraciət etməlisiniz. Prosedur parametrlərinin mənası aşağıdakı kimidir: N polinomun qaydasıdır, E - göstərilən dəqiqlik, A - çoxnömrənin əmsalları cərgəsinin adı, U, V - polinomial köklərin həqiqi və xəyali hissələrinin massivlərinin adıdır.

Polinomlar - həyata keçirdikləri əsas hərəkətlər nələrdir?

Polinomları daxil edən ifadələr və ya ifadələr olduqca uzun və mürəkkəbdir. Buna görə, onları mümkün qədər sadələşdirmək tövsiyə olunur - qeyri-standart bir mənzərədən standart birinə keçmək üçün.

Çoxbucaqlı bir standart şəklində yazmaq üçün oxşar şərtlərlə bütün mövcud hərəkətləri yerinə yetirmək lazımdır - ədədi əmsalları, dəyişənləri və dərəcələri əlavə etmək, çıxarmaq və ya çoxaltmaq. Artıq daha da sadələşdirilə bilməyən çoxbucaqlı standart sayılacaqdır.

Məsələn, 5x2 yy - 7xuh 2 + 5ax ifadəsi 5a 2 2x - 2x 3 y - qədər sadələşdirilə bilər və nəticədə ifadə standart bir polinom olacaqdır. Daha sadə bir şəkildə yazmaq artıq mümkün deyil.

Bir çoxluq bir dərəcəsi anlayışı da var.

  • Bunu müəyyən etmək çox sadədir - mövcud şərtlərin hər birinin dərəcələrini müqayisə etmək lazımdır.
  • Onlardan ən böyüyü bütün polinomun dərəcəsi olaraq təyin ediləcəkdir.
  • Üstəlik, ilk baxışdan heç bir dərəcənin olmadığı şərtlər həmişə birinci dərəcədə monomial olaraq qəbul edilir.

Çox vaxt problemlərdə polinomiyanı ayrı amillərə ayırmaq tələb olunur. Bunu etmək olduqca sadədir - yalnız prinsipcə ifadə üzvləri arasında ortaq bir amil olub olmadığını müəyyənləşdirməlisiniz. Biri varsa, mötərizədən çıxarılır və şərtlər mötərizədə qalır.

Bir matrisin minimum polinomiyasının xüsusiyyətləri

1. Bir matrisin məhv edən çoxbucaqlılığı minimal polinomiya ilə bölünür (qalıqsız). Xüsusilə xarakterik çoxbucaqlılar minimum polinomiyaya bölünür.

Həqiqətən, əksinə, yox edən polinomial [riyaziyyat] p ( lambda) [/ riyaziyyat] minimum polinomial [riyaziyyat] mu _ ( lambda) [/ riyaziyyat] ilə qalan hissəsi ilə bölünsün:

2. Hər kvadrat matrisə [riyaziyyat] A [/ riyaziyyat] üçün minimal polinomiya unikaldır.

Əslində, iki minimal polinomiya olsaydı, eyni dərəcəyə sahib olardı və bir-birlərinə bölünürdü, yəni. yalnız sabit bir amil ilə fərqlənərdi. Bununla birlikdə, bu çoxbucaqlıların aparıcı əmsalları vəhdətə bərabərdir, buna görə də belə polinomiyalar üst-üstə düşür.

3. Matrisin bütün eigenvalues ​​minimal polinomial kökləri.

Bərabərliyə əvəz etmək (7.28) hər hansı bir kök [riyaziyyat] lambda_i,

4. Xarakterik çoxminli forma varsa (7.24), onda bu matrisin minimal polinomiyası formada təmsil oluna bilər

burada [riyaziyyat] 1 leqslant m_1 leqslant n_1,

1 leqslant m_2 leqslant n_2 [/ riyaziyyat] və s. Bundan əlavə, [riyaziyyat] m_1 + m_2 + ldots + m_k = m leqslant n [/ riyaziyyat].

Bu ifadə əmlakın 3-dən irəli gəlir.

5. A [/ math] matrisasının minimum polinomiyası düsturla tapılır

harada [riyaziyyat] d_( lambda) [/ riyaziyyat] xarakterik matrisanın [riyaziyyat] (A- lambda E) [/ riyaziyyat] (n-1) min yetkinlik yaşına çatmayanların ən böyük ümumi amil bölücüdür.

Bu bərabərliyi (7.27) ilə müqayisə edin:

Λ-matrisini [riyaziyyat] Delta_A ( lambda) cdot E [/ riyaziyyat] solda xarakterik matrisə [riyaziyyat] (A- lambda E) [/ riyaziyyat] bölməkdə bölünmənin bənzərsizliyinə görə üst-üstə düşməlidir. Buna görə

yəni çoxbucaqlı [riyaziyyat] p ( lambda) [/ riyaziyyat] bitişik matrisanın bütün elementlərinin bölücüdür. Qeyd edək ki, polinomial [riyaziyyat] p ( lambda) [/ riyaziyyat] dərəcəsi maksimum olmalıdır, çünki minimum polinomial [riyaziyyat] mu_A ( lambda) [/ riyaziyyat] mümkün olan ən kiçik dərəcəyə malikdir və bu iki polinomiyanın dərəcələrinin cəmidir. bərabərliyə görə [riyaziyyat] Delta_A ( lambda) = (- - 1) ^ np ( lambda) mu_A ( lambda) [/ riyaziyyat] sabit və [riyaziyyat] n [/ riyaziyyat] ilə bərabərdir. Buna görə çoxbucaqlı [riyaziyyat] p ( lambda) [/ riyaziyyat] yaxınlaşmış matrisanın elementlərinin ən böyük ümumi bölücüdür [riyaziyyat] (A- lambda E) ^ <+> [/ riyaziyyat]. Qoşulmuş matrisanın elementləri xarakterik matrisanın (n-1) sırasının azyaşlılarına nisbətdə olduğundan [math] p ( lambda) = d_( lambda) [/ riyaziyyat].

Beləliklə, [riyaziyyat] Delta_A ( lambda) = (- 1) ^ n cdot d_( lambda) cdot mu_A ( lambda) [/ riyaziyyat], düsturu (7.30) ardınca.

6. [riyaziyyat] A [/ riyaziyyat] matrisasının minimum polinomiyası, xarakterik matrisanın [riyaziyyat] (A- lambda E) [/ riyaziyyat] son ​​invariant amili [math] e_n ( lambda) [/ math] ilə üst-üstə düşür.

Əslində, ən böyük ümumi amil [riyaziyyat] d_( lambda) [/ riyaziyyat] xarakterik matrisanın n-ci sırasının yeganə cüzi kiçikliyi [math] (A- lambda E) [/ math] bu matrisin müəyyənedicisindən [math] (- 1) ^ n [/ math] amilinə görə fərqlənir. yəni [riyaziyyat] Delta_A ( lambda) = (- 1) ^ n d_( lambda) [/ riyaziyyat]. Bu ifadəni (7.30) əvəz edərək əldə edirik

Bir matrisin minimum polinomiyasını tapmaq yolları

Qoy [riyaziyyat] A [/ riyaziyyat] n-nizamlı kvadrat matrisə çevrilsin. Bunun minimum polinomiyasını tapmaq tələb olunur.

1. Xarakterik bir matris hazırlayın [riyaziyyat] (A- lambda E) [/ riyaziyyat].

2. Normal diaqonal formaya gətirin [riyaziyyat] (A- lambda E) sim operatorname Bigl (e_1 ( lambda), e_2 ( lambda), ldots, e_n ( lambda) Bigr) [/ riyaziyyat].

Son invariant amil [riyaziyyat] e_n ( lambda) [/ riyaziyyat] A [/ riyaziyyat] matrisasının minimal polinomiyasıdır (əmlak ilə 6).

1. Xarakterik bir matris hazırlayın [riyaziyyat] (A- lambda E) [/ riyaziyyat].

2. Xarakterik çoxbucaqlı [riyaziyyat] Delta_A ( lambda) = det (A- lambda E) [/ riyaziyyat] tapın.

3. Ən böyük ortaq amili tapın [riyaziyyat] d_( lambda) [/ riyaziyyat] yetkinlik yaşına çatmayanlar (n-l) -ro ri-matrisin qaydası [riyaziyyat] (A- lambda E) [/ riyaziyyat].

4. (7.30) düsturundan istifadə edərək minimal polinom əldə edin.

Misal 7.12 [Math] A = başlayan matrisin minimum polinomiyasını tapın1 & 1 & 1 1 & 1 & 1 1 & 1 & 1 sonuMinimum çoxbucaqlı istifadə edərək [/ riyaziyyat] təbii göstərici ilə [riyaziyyat] A ^ m [/ riyaziyyat] dərəcəsini tapın.[/ riyaziyyat].

Həll yolu. Birinci yol. 1. Xarakterik bir matris hazırlayırıq

2. Bu λ-matrixi normal diaqonal formaya gətiririk. Birinci və üçüncü sətirləri dəyişdirin. Aparıcı element olaraq matrisin yuxarı sol küncündə görünən bölməni seçirik. Aparıcı elementdən istifadə edərək birinci sıra və ilk sütunun qalan elementlərini sıfıra bərabər edirik:

[Math] (- lambda) [/ math] elementini aparıcı element olaraq götürürük və ikinci sıra və ikinci sütunun bütün digər elementlərini sıfıra bərabər edirik. Sonra ikinci və üçüncü sətirləri (-1) çoxaltırıq ki, diaqonal elementlərin ən yüksək əmsalları vəhdətə bərabər olsun. Normal diaqonal görünüş alırıq:

[Matematik] mu_A ( lambda) = e_3 ( lambda) = lambda ^ 2-3 lambda [/ riyaziyyat] minimum polinomiyası.

İkinci yol. 1. Biz xarakterik matrisanı tərtib edirik (7.32).

2. Xarakterik çoxbucaqlı [riyaziyyat] Delta_A ( lambda) = 3 lambda ^ 2- lambda ^ 3 [/ riyaziyyat] tapırıq (bax. Misal 7.11).

3. Xarakterik bir matrisin [riyaziyyat] (A- lambda E) [/ riyaziyyat] ikinci dərəcəli yetkinlik yaşına çatmayanları tapırıq. İlk iki cərgədə olan yetkinlik yaşına çatmayanlar üçün özümüzü məhdudlaşdırırıq:

Qalan yetkinlik yaşına çatmayanlar üçün ifadələr tapılanlarla üst-üstə düşür. Çoxbucaqlıların ən böyük ümumi bölücü [riyaziyyat] lambda ^ 2-2 lambda, , (- lambda), , lambda [/ riyaziyyat], [riyaziyyat] lambda [/ riyaziyyat], yəni. [riyaziyyat] d_2 ( lambda) = lambda [/ riyaziyyat].

4. (7.30) düsturu ilə əldə edirik: [riyaziyyat] mu_A ( lambda) = frac <(- 1) ^ 3 (3 lambda ^ 2- lambda ^ 3)> < lambda> = lambda ^ 2 -3 lambda [/ riyaziyyat].

Doğrulama üçün hesablayırıq

Həqiqətən, minimal polinomial [riyaziyyat] mu_A ( lambda) [/ riyaziyyat] məhv olur, yəni [riyaziyyat] mu_A (A) = O [/ riyaziyyat]. Qeyd edək ki, [riyaziyyat] A [/ riyaziyyat] matrisi üçün minimal və xarakterik çoxbucaqlılar yalnız [math] (- lambda) [/ riyaziyyat] amilində fərqlənir.

İndi [riyaziyyat] A [/ riyaziyyat] matrisinin [riyaziyyat] A ^ m [/ riyaziyyat] dərəcəsini tapırıq. Bunu etmək üçün çoxbucaqlı [riyaziyyat] lambda ^ m [/ riyaziyyat] düşünün. Minimum çoxbucaqlı [riyaziyyat] mu_A ( lambda) [/ riyaziyyat] ilə bölün. Bölünmənin qalan hissəsi (birincisindən yüksək olmayan çoxbucaqlılıq) [riyaziyyat] alfa , lambda + beta [/ riyaziyyat] kimi göstərilə bilər. Alırıq

burada [riyaziyyat] p ( lambda) [/ riyaziyyat], qalan hissəsi isə [riyaziyyat] ( alfa cdot lambda + beta) [/ riyaziyyat]. Minimum çoxluğun köklərini bərabərliyə əvəz edən [riyaziyyat] alfa [/ riyaziyyat] və [riyaziyyat] beta [/ riyaziyyat] əmsallarını tapırıq:

- [riyaziyyat] lambda = 0 [/ riyaziyyat] olduqda: [riyaziyyat] 0 ^ m = p ( lambda) cdot0 + alfa cdot0 + beta [/ riyaziyyat],

- [riyaziyyat] lambda = 3 [/ riyaziyyat] ilə: [riyaziyyat] 3 ^ m = p ( lambda) cdot0 + alfa cdot3 + beta [/ riyaziyyat],

beta = 0 [/ riyaziyyat]. Buna görə, [riyaziyyat] lambda ^ m = p ( lambda) ( lambda ^ 2-3 lambda) + 3 ^ lambda [/ riyaziyyat]. İndi dəyişən [math] lambda [/ riyaziyyat] A matrisası üçün əvəz edin: [/ riyaziyyat]

Nəticə 7.10 misalında alınan nəticələrlə üst-üstə düşür.

Pin
Send
Share
Send
Send