Faydalı məsləhətlər

Kvadrat tənliklərin həlli

Pin
Send
Share
Send
Send


Bu yazı şəklin standart kvadrat tənliyini nəzərdən keçirir:

Məqalə əvəzinə tam kvadratı, ədədi dəyərləri tamamlamaq üsulu ilə bir kvadrat tənliyin kökləri üçün bir düstur əldə edir a, b, c əvəz olunmayacaq.

ax 2 + bx + c = 0 2 Tənliyin hər iki tərəfini də bölün amma.

x 2 + (b / a) x + c / a = 0 3 çıxmaq s / a tənliyin hər iki tərəfindən.

x 2 + (b / a) x = -c / a 4 əmsalı bölün x (b / a) 2 ilə vurun və nəticəni kvadratlaşdırın. Nəticəni bərabərliyin hər iki tərəfinə əlavə edin.

x 2 + (b / a) x + b 2 / 4a 2 = -c / a + b 2 / 4a 2 5 Sol tərəfi faktorlaşdırmaq və sağ tərəfdəki şərtləri əlavə etməklə ifadəni sadələşdirin (əvvəlcə ortaq məxrəc tapın).

(x + b / 2a) (x + b / 2a) = (-4ac / 4a 2) + (b 2 / 4a 2)

(x + b / 2a) 2 = (b 2 - 4ac) / 4a 2 6 Tənliyin hər tərəfindən kvadrat kökünü çıxarın.

√ ((x + b / 2a) 2) = ± √ ((b 2 - 4ac) / 4a 2)

x + b / 2a = ± √ (b 2 - 4ac) / 2a 7 Çıxarış b / 2a hər iki tərəfdən və kvadrat tənliyin kökləri üçün düstur alırsınız.

Qeyri-ixtiyari

Kvadrat tənlik oxu 2 + bx + c = 0 verilsin .. Sonra - bu yalnız D = b 2 - 4 ac sayıdır.

Bu düstur ürəkdən bilinməlidir. İndi haradan gəlir, əhəmiyyətsizdir. Başqa bir şey vacibdir: diskriminantın işarəsi ilə kvadrat tənliyin neçə kök olduğunu müəyyən edə bilərsiniz. Məhz:

  1. D D = 0 olarsa, tam bir kök var,
  2. D> 0 olarsa, iki kök olacaqdır.

Qeyd: ayrıseçkilik, nədənsə bir çoxunun inandığı kimi əlamətlərini deyil, köklərin sayını göstərir. Nümunələrə baxın və hər şeyi özünüz başa düşəcəksiniz:

Çağırış. Neçə kökdə kvadrat tənlik var:

  1. x 2 - 8 x + 12 = 0,
  2. 5 x 2 + 3 x + 7 = 0,
  3. x 2 - 6 x + 9 = 0.

İlk tənlik üçün əmsalları yazırıq və ayrı-seçkiliyi tapırıq:
a = 1, b = −8, c = 12,
D = (−8) 2 - 4 · 1 · 12 = 64 - 48 = 16

Beləliklə, ayrıseçkilici müsbətdir, buna görə tənliyin iki fərqli kökü var. Eynilə, ikinci tənliyi təhlil edirik:
a = 5, b = 3, c = 7,
D = 3 2 - 4 · 5 · 7 = 9 - 140 = −131.

Ayrılıq verən mənfi, kökləri yoxdur. Son tənlik qalır:
a = 1, b = −6, c = 9,
D = (−6) 2 - 4 · 1 · 9 = 36 - 36 = 0.

Ayrı-seçkilik sıfırdır - kök bir olacaq.

Qeyd edək ki, əmsallar hər tənlik üçün yazılmışdır. Bəli, uzun müddətdir, bəli, darıxdırıcıdır - amma əmsalları səhv etmirsiniz və ağılsız səhvlər etmirsiniz. Özünüz üçün seçin: sürət və ya keyfiyyət.

Yeri gəlmişkən, bir müddət sonra "əlinizə daxil olursan", bütün ehtimalları yazmağa ehtiyac qalmayacaq. Bu cür əməliyyatları başınızda edəcəksiniz. Əksər insanlar 50-70 həll edilmiş tənliklərdən sonra bir yerdə bunu etməyə başlayırlar - ümumiyyətlə, o qədər də çox deyil.

Kvadrat tənliyin kökləri

İndi həll yoluna keçək. Ayrı-seçkilik D> 0 olarsa, kökləri düsturlarla tapmaq olar:

Kvadrat tənliyin köklərinin əsas düsturu

D = 0 olduqda, bu düsturlardan hər hansı birini istifadə edə bilərsiniz - eyni sayda cavab alacaqsınız. Nəhayət, əgər D x 2 - 2 x - 3 = 0,

  • 15 - 2 x - x 2 = 0,
  • x 2 + 12 x + 36 = 0.
  • Birinci tənlik:
    x 2 - 2 x - 3 = 0 ⇒ a = 1, b = −2, c = −3,
    D = (−2) 2 - 4 · 1 · (−3) = 16.

    D> 0 ⇒ tənliyin iki kökü var. Onları tapın:

    İkinci tənlik:
    15 - 2 x - x 2 = 0 ⇒ a = −1, b = −2, c = 15,
    D = (−2) 2 - 4 · (−1) · 15 = 64.

    D> 0 ⇒ tənliyi yenidən iki kökə malikdir. Onları tapın

    Nəhayət, üçüncü tənlik:
    x 2 + 12 x + 36 = 0 ⇒ a = 1, b = 12, c = 36,
    D = 12 2 - 4 · 1 · 36 = 0.

    D = 0 ⇒ tənliyin bir kökü var. İstənilən formuldan istifadə edə bilərsiniz. Məsələn, birincisi:

    Nümunələrdən göründüyü kimi, hər şey çox sadədir. Düsturları bilirsinizsə və saya bilsəniz, problem olmayacaqdır. Düsturdakı mənfi əmsalları əvəz edərkən çox vaxt səhvlər olur. Burada yenə də yuxarıda təsvir olunan texnika kömək edəcək: düstura sözün həqiqi mənasında baxın, hər bir addımınızı yazın - və çox keçmədən səhvlərdən qurtulun.

    Tamamlanmamış kvadrat tənliklər

    Bu olur ki, kvadrat tənlik tərifdə veriləndən bir qədər fərqlidir. Məsələn:

    Bu tənliklərdə terminlərdən birinin olmadığını görmək asandır. Bu tip kvadrat tənlikləri standartlardan daha asan həll etmək daha asandır: ayrıseçkiliyi nəzərə almağa belə ehtiyac yoxdur. Beləliklə, yeni bir konsepsiya təqdim edirik:

    B = 0 və ya c = 0 olduqda, yəni 2 + bx + c = 0 tənliyi deyilir. dəyişən x və ya sərbəst elementin əmsalı sıfırdır.

    Əlbəttə ki, bu əmsalların hər ikisi sıfıra bərabər olduqda çox çətin bir hal mümkündür: b = c = 0. Bu vəziyyətdə tənlik x 2 = 0 formasını alır. Aydındır ki, bu tənliyin tək kökü var: x = 0.

    Qalan halları nəzərdən keçirin. B = 0 qoyaq, onda balt 2 + c = 0 formasının natamam bir kvadratik tənliyini əldə edək.

    Tamamlanmamış bir kvadrat tənliyin həlli

    Arifmetik kvadrat kök yalnız mənfi olmayan bir ədəddən mövcud olduğu üçün son bərabərlik yalnız (- c / a) ≥ 0 üçün məna kəsb edir. Nəticə:

    1. Bal 2 + c = 0 formasının tam olmayan kvadratik tənliyində (- c / a) ≥ 0 bərabərsizliyi varsa, iki kök olacaqdır. Düstur yuxarıda verilmişdir
    2. Əgər (- c / a) c / a) ≥ 0. x 2 miqdarını ifadə etmək və bərabər işarənin digər tərəfində nə olduğunu görmək kifayətdir. Müsbət bir nömrə varsa, iki kök olacaq. Mənfi olarsa, ümumiyyətlə kök olmaz.

    İndi sərbəst element sıfıra bərabər olan bal 2 + bx = 0 formasının tənlikləri ilə məşğul olacağıq. Burada hər şey sadədir: həmişə iki kök olacaq. Çoxbucaqlı faktoru göstərmək kifayətdir:

    Ortaq amil

    Faktorlardan ən azı biri sıfır olduqda məhsul sıfırdır. Buradan köklər var. Sonda bir neçə belə tənliyi təhlil edirik:

    Çağırış. Kvadrat tənlikləri həll edin:

    x 2 - 7 x = 0 ⇒ x · (x - 7) = 0 ⇒ x 1 = 0, x 2 = −(−7)/1 = 7.

    5 x 2 + 30 = 0 ⇒ 5 x 2 = −30 ⇒ x 2 = −6. Kökləri yoxdur, çünki kvadrat mənfi saya bərabər ola bilməz.

    4 x 2 - 9 = 0 ⇒ 4 x 2 = 9 ⇒ x 2 = 9/4 ⇒ x 1 = 3/2 = 1,5, x 2 = −1,5.

    Kvadrat tənliklərin nümunələri

    • 5x 2 - 14x + 17 = 0
    • −x 2 + x +
      1
      3
      = 0
    • x 2 + 0.25x = 0
    • x 2 - 8 = 0

    "A", "b" və "c" tapmaq üçün tənliyinizi "ax 2 + bx + c = 0" kvadrat tənliyinin ümumi forması ilə müqayisə etməlisiniz.

    Kvadrat tənliklərdə a, b və c əmsallarını təyin etmək təcrübəsinə keçək.

    TənlikNarahatlıqlar
    5x 2 - 14x + 17 = 0
    • a = 5
    • b = −14
    • c = 17
    −7x 2 - 13x + 8 = 0
    • a = −7
    • b = −13
    • c = 8
    −x 2 + x +
    1
    3
    = 0
    • a = −1
    • b = 1
    • c =
      1
      3
    x 2 + 0.25x = 0
    • a = 1
    • b = 0,25
    • c = 0
    x 2 - 8 = 0
    • a = 1
    • b = 0
    • c = −8

    Kvadrat tənlikləri necə həll etmək olar

    Xətti tənliklərdən fərqli olaraq, kvadratik tənliklərin həlli üçün kökləri tapmaq üçün xüsusi bir düstur istifadə olunur.

    Kvadrat tənliyi həll etmək üçün sizə lazımdır:

    • kvadrat tənliyi "bal 2 + bx + c = 0" ümumi formasına endir. Yəni yalnız "0" sağ tərəfdə qalmalıdır,
    • köklər üçün düsturdan istifadə edin:

    x1,2 =
    −b ± √ b 2 - 4ac
    2a

    Bir kvadrat tənliyin köklərini tapmaq üçün düsturun necə tətbiq olunacağına bir nümunəyə baxaq. Kvadrat tənliyi həll edin.

    "X 2 - 3x - 4 = 0" tənliyi artıq "ax 2 + bx + c = 0" ümumi formasına endirilmişdir və əlavə asanlaşdırma tələb etmir. Bunu həll etmək üçün sadəcə müraciət etmək lazımdır kvadrat tənliyin köklərini tapmaq düsturu.

    Bu tənlik üçün "a", "b" və "c" əmsallarını təyin edin.

    TənlikNarahatlıqlar
    x 2 - 3x - 4 = 0
    • a = 1
    • b = −3
    • c = −4

    Onları düsturda dəyişdirin və köklərini tapın.

    x 2 - 3x - 4 = 0
    x1,2 =
    −b ± √ b 2 - 4ac
    2a

    x1,2 =
    −(−3) ± √ (−3) 2 − 4 · 1· (−4)
    2 · 1

    x1,2 =
    3 ± √ 9 + 16
    2

    x1,2 =
    3 ± √ 25
    2

    x1,2 =
    3 ± 5
    2

    x1 =
    3 + 5
    2
    x2 =
    3 − 5
    2
    x1 =
    8
    2
    x2 =
    −2
    2
    x1 = 4x2 = −1

    Cavab: x1 = 4, x2 = −1

    Kökləri tapmaq üçün düsturu əzbərləməyinizə əmin olun.

    x1,2 =
    −b ± √ b 2 - 4ac
    2a

    Onun köməyi ilə istənilən kvadrat tənlik həll olunur.

    Düsturda "x1,2 =
    −b ± √ b 2 - 4ac
    2a
    »Tez-tez radikal ifadəni əvəz edir
    "D 2" hərfindəki "B 2 - 4ac" və ayrıseçkilik adlanır. Diskriminant anlayışı "Ayrı-seçkilik nədir" dərsində daha ətraflı müzakirə olunur.

    Kvadrat tənliyin başqa bir nümunəsini nəzərdən keçirək.

    Bu formada "a", "b" və "c" əmsallarının müəyyən edilməsi olduqca çətindir. Əvvəlcə tənliyi "ax 2 + bx + c = 0" ümumi formasına gətirək.

    İndi köklər üçün formuldan istifadə edə bilərsiniz.

    x1,2 =
    −(−6) ± √ (−6) 2 − 4 · 1 · 9
    2 · 1

    x1,2 =
    6 ± √ 36 − 36
    2

    x1,2 =
    6 ± √ 0
    2

    x1,2 =
    6 ± 0
    2

    x =
    6
    2

    x = 3
    Cavab: x = 3

    Kvadrat tənliklərdə kök olmadığı vaxtlar olur. Bu vəziyyət, kök altında olan düsturda mənfi bir nömrə görünəndə yaranır.

    Kvadrat kökünün tərifindən xatırlayırıq ki, kvadrat kökünü mənfi bir ədəddən çıxarmaq mümkün deyil.

    Kökləri olmayan bir kvadratik tənliyin nümunəsinə baxaq.

    5x 2 + 2x = - 3
    5x 2 + 2x + 3 = 0
    x1,2 =
    −2 ± √ 2 2 − 4 · 3 · 5
    2 · 5

    x1,2 =
    −2 ± √ 4 − 60
    10

    x1,2 =
    −2 ± √ −56
    10

    Cavab: etibarlı köklər yoxdur.

    Beləliklə, mənfi bir nömrənin kök altında olduğu bir vəziyyət aldıq. Bu, tənlikdə köklərin olmadığı deməkdir. Buna görə cavab olaraq "Əsl kök yoxdur" yazdıq.

    "Əsl kök yoxdur" sözləri nə deməkdir? Niyə yalnız "kökləri yoxdur" yaza bilməzsiniz?

    Əslində, bu cür halların kökləri var, ancaq məktəb tədris proqramından keçmirlər, buna görə cavab olaraq həqiqi ədədlər arasında köklərin olmadığını qeyd edirik. Başqa sözlə, "əsl kök yoxdur".

    Videoya baxın: Kvadrat tənliyin həlli usulları (Iyun 2021).

    Pin
    Send
    Share
    Send
    Send